Faktorisasi Bentuk Aljabar
Bentuk aljabar xy merupakan perkalian dari x dengan y (xy = x × y). Maka yang menjadi faktor dari xy adalah x dan y. Begitu juga dengan bentuk a(x + y), dimana faktor dari a(x + y) adalah a dan (x + y).
Jadi, yang dimaksud dengan pemfaktoran bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku ke dalam bentuk perkalian atau faktor.
Sifat-sifat
Hukum Distributif dan Faktor Persekutuan Aljabar
Masih ingat dengan hukum distributif untuk bilangan a, b, c anggota bilangan real? pada hukum distributif berlaku aturan :
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar.
Perhatikan contoh berikut.
Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini!
a. 2x2 + 8x2y
2x2 + 8x2y = 2x2 (1 + 4y) ==> (FPB 2x2 dan 8x2y = 2x2)
b. 12abc + 15xyz
12abc + 15xyz =
3(4abc + 5xyz) ==> (FPB 12abc dan 15xyz = 3)
c. 3x2y – 15xy2z
3x2y – 15xy2z =
3xy(x – 5yz) ==> (FPB 3x2y dan 15xy2z = 3xy)
Faktorisasi Bentuk x2 + 2xy + y2
Hasil perkalian dari (x + y)2 adalah x2 + 2xy + y2. Bentuk seperti ini disebut sebagai bentuk kuadrat sempurna.
Bentuk kuadrat sempurna mempunyai beberapa ciri khusus, yaitu:
a. Koefisien peubah pangkat dua (x2) sama dengan 1.
b. Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x.
Perhatikan contoh berikut ini!
Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x2 + 8x + 16!
Penyelesaian:
Konstanta = (½ × 8)2 = 42, maka
x2 + 8x + 16 = x2 + 8x + (4)2
= (x + 4)2
= (x + 4)(x + 4)
Selain dengan cara di atas, memfaktorkan bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan hukum distributif. Caranya adalah mengubah suku 2xy menjadi penjumlahan dua suku (xy + xy), kemudian suku-suku tersebut difaktorkan.
Perhatikan contoh berikut ini!
Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x2 + 8x + 16
Penyelesaian:
x2 + 8x + 16 = x2 + 4x + 4x + 16
= (x2 + 4x) + (4x + 16)
= x (x + 4) + 4(x + 4)
= (x + 4) (x + 4)
= (x + 4)2
Jadi faktor dari x2 + 4x + 16 adalah (x + 4)2
3. Faktorisasi Bentuk Kuadrat ax2 + bx + c
Selain faktorisasi bentuk x2 + 2xy + y2, faktorisasi bentuk kuadrat terdapat pula dalam bentuk ax2 + bx + c; dengan a, b, dan c merupakan bilangan real. a dan b merupakan koefisien, c adalah konstanta. Sedangkan yang menjadi peubah atau variabel adalah x2 dan x.
a. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar seperti ini, kalian harus memperhatikan bentuk perkalian suku (x + y) dengan (x + z) berikut.
(x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) (sifat distributif)
= ((x.x)+(x.z))+((y.x)+(y.z)) (sifat distributif)
= x2 + xz + xy + yz
= x2 + (y + z)x + yz
Perhatikan contoh berikut ini
Faktorkanlah bentuk aljabar dari x2 + 7x + 12!
Penyelesaian:
x2 + 7x + 12 = x2 + (y + z)x + yz
y + z = 7
yz = 12
y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4 atau y = 4 dan z = 3.
Jadi bentuk kuadrat dari x2 + 7x + 12 adalah:
(x+y)(x+z) = (x + 3)(x + 4)
atau
(x+y)(x+z) = (x + 4)(x + 3).
b. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1
Kalian telah memahami bahwa pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1 adalah (x + y)(x + z). Dengan menurunkan rumus tersebut kita dapat memperoleh rumus pemfaktoran ax2 + bx + c untuk a ≠ 1. Perhatikan pemfaktoran berikut
Selanjutnya kita cari bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya sama dengan b/a dan jika dikalikan hasilnya sama dengan b/c.
Contoh :
Faktorkanlah bentuk aljabar 2x2 + 3x – 14!
Penyelesaian:
2x2 + 3x – 14 = a(x+ p/a )( x+ q/a)
Berdasarkan soal, diperoleh nilai a = 2, b = 3, dan c = –14, sehingga:
pq = ac = –28
p + q = b = 3
Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = –4 dan q = 7, atau p = 7 dan q = –4.
Jadi,
Untuk p = –4 dan q = 7
2x2 + 3x – 14 = 2(x + –4/2 )( x + 7/2 )
= (x – 2)(2x + 7)
Untuk p = 7 dan q = -4
2x2 + 3x – 14 = 2( x + 7/2 )(x + -4/2 )
= (2x + 7)(x – 2)
Jadi faktor dari 2x2 + 3x – 14 adalah (2x + 7)(x – 2)
Latihan
untuk latihan klik disini
untuk tugas klik disini
