Menyelesaikan masalah linier satu variabel

Banyak sekali permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan linear satu variabel. Permasalahan-permasalahan tersebut biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita. Untuk menyelesaikannya, hal pertama yang harus Anda lakukan adalah membuat model matematika berdasarkan soal cerita tersebut. Kemudian selesaian dengan menggunakan penyelesaian persamaan linear satu variabel dengan cara persamaan ekuivalen. Nah untuk lebih jelasnya, silahkan pelajari contoh berikut.

Contoh Soal 1

Jordy memiliki kolam ikan di depan rumahnya berbentuk persegi panjang. Lebar kolam ikan tersebut 10 cm lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling kolam ikan 3,8 m, tentukan luas kolam ikan tersebut.

Penyelesaian:

Misalkan panjang kolam ikan = x maka lebar kolam ikan = x – 10.

Model matematika dari contoh soal 1 adalah p = x dan l = x – 10, sehingga:

K = 2(p + l)

380 = 2(x + x – 10)

Penyelesaian model matematika di atas sebagai berikut.

K = 2(p + l)

380 = 2(x + x – 10)

380 = 2(2x – 10)

380 = 4x – 20

380 + 20 = 4x – 20 + 20

400 = 4x

x = 400/4

x = 100

 

Luas = p . l

Luas = x(x – 10)

Luas = 100(100 – 10)

Luas = 100 . 90

Luas = 9000 cm2 = 0,9 m2

Jadi, luas kolam ikan Jordy adalah 9.000 cm2 atau 0,9 m2.

 

Contoh Soal 2

Diketahui harga 1 kg buah anggur tiga kali harga 1 kg buah salak. Jika ibu membeli 2 kg buah anggur dan 5 kg buah salak maka ibu harus membayar Rp38.500,00. a) Buatlah kalimat matematika dari keterangan di atas, kemudian selesaikanlah. b). Berapakah harga 1 kg buah anggur dan 1 kg buah salak? c). Jika seseorang membeli 3 kg buah anggur dan 4 kg buah salak, berapakah ia harus membayar?

Penyelesaian:

a). Misalkan harga 1 kg anggur = x dan harga 1 kg salak = y, maka model matematika berdasarkan keterangan di atas adalah x = 3y dan 2x + 5y = 38.500. Dari model matematika diketahui x = 3y dan 2x + 5y = 38.500. Digunakan motode substitusi, sehingga diperoleh:

2x + 5y = 38.500

2x + 5y = 38.500

2(3y) + 5y = 38.500

6y + 5y = 38.500

11y = 38.500

y = 38.500/11

y = 3500

Karena x = 3y dan y = 3500, maka

x = 3 . 3500

x = 10.500

b) karena harga 1 kg buah anggur = x dan harga 1 kg buah salak = y, maka harga 1 kg buah anggur adalah Rp 10.500,00 dan 1 kg buah salak adalah Rp 3.500,00.

c) Jika seseorang membeli 3 kg buah anggur dan 4 kg buah salak dapat

ditulis sebagai 3x + 4y, sehingga:

3x + 4y = (3 . 10500) + (4 . 3500)

3x + 4y = 31500 + 14000

3x + 4y = 45500

Jadi, ia harus membayar untuk membeli 3 kg buah anggur dan 4 kg buah salak adalah Rp 45.500,00

Lebih jelasnya buka tautan berikut

Latihan dapat di klik disini

Menyelesaikan persamaan dengan penjumlahan dan pengurangan

Yang merupakan suatu persamaan linear satu variabel (PLSV). Untuk menyelesaikan suatu persamaan, kita harus menentukan nilai dari x sedemikian sehingga persamaan tersebut menjadi benar, yang berarti, nilai dari ruas kiri sama dengan ruas kanan. Perhatikan tabel berikut.

Berdasarkan tabel di atas, kita dapat menemukan bahwa persamaan 3(x – 1) + x = –x + 7 akan bernilai benar ketika kita mengganti x dengan bilangan 2, dan akan salah jika kita mengganti x dengan bilangan selain 2. Bilangan pengganti yang dapat menyebabkan suatu persamaan bernilai benar disebut akar.

Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan tabel akan memakan waktu yang cukup lama. Untuk itu, kita dapat menuliskan suatu persamaan yang diberikan ke dalam persamaan ekuivalen yang lebih sederhana, sampai kita mendapatkan solusi yang diminta. Persamaan-persamaan yang ekuivalen adalah persamaan-persamaan yang memiliki himpunan selesaian sama, dan diperoleh dari penyederhanaan kedua ruas persamaan dengan menggunakan sifat-sifat penjumlahan, perkalian, dan distributif dari suatu persamaan, sampai diperoleh suatu persamaan dalam bentuk x = konstanta.

Sifat Penjumlahan dan Perkalian Suatu Persamaan
Jika A, B, dan C merupakan bentuk-bentuk aljabar dan A = B, maka A + C = B + C, AC = BC, dan A/C = B/C (C ≠ 0).

Dengan kata lain, berdasarkan sifat penjumlahan suatu persamaan, kita dapat menambahkan suatu bilangan atau bentuk aljabar lain ke dalam ruas kanan dan kiri persamaan tersebut. Pernyataan yang serupa dapat dibuat untuk menyatakan sifat perkalian suatu persamaan. Sifat-sifat dari persamaan ini dapat dikombinasikan untuk dijadikan panduan dalam menyelesaikan suatu persamaan linear. Sebagai catatan, tidak semua langkah dalam panduan ini diperlukan dalam menyelesaikan setiap persamaan.

  1. Berikut ini merupakan panduan/langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel.
  2. Hilangkan tanda kurung dengan menggunakan sifat distributif, kemudian operasikan suku-suku yang serupa.
  3. Gunakan sifat penjumlahan suatu persamaan untuk menulis persamaan tersebut sehingga semua variabel berada di satu ruas, sedangkan semua konstanta berada di ruas lainnya. Sederhanakan masing-masing ruas
  4. Gunakan sifat perkalian suatu persamaan untuk menghasilkan persamaan yang berbentuk x = konstanta

Untuk soal penerapan, jawablah ke dalam kalimat sempurna dan gunakan satuan yang sesuai dengan perintah. Sebagai contoh pertama, kita akan mencoba menyelesaikan persamaan 3(x – 1) + x = –x + 7 yang merupakan masalah di awal pembahasan ini.

Pembahasan :

Seperti selesaian dengan menggunakan tabel, kita juga memperoleh bahwa selesaian dari persamaan tersebut adalah x = 2.

Untuk menguji selesaian yang kita peroleh, kita dapat mensubstitusikan selesaian ini ke dalam persamaan semula (proses ini sering disebut substitusi-balik), dan pastikan bahwa nilai pada ruas kiri sama dengan ruas kanan. Dari contoh 1 kita mendapatkan:

Jika ada koefisien-koefisien dalam suatu persamaan berbentuk pecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari penyebut-penyebutnya, untuk menghilangkan pecahan tersebut. Karena setiap bilangan desimal dapat ditulis ke dalam bentuk pecahan, maka dalam menyelesaikan persamaan yang memuat koefisien desimal, kita dapat mengubah bentuk desimal tersebut ke dalam bentuk pecahan terlebih dahulu.

Tentukan selesaian dari persamaan: 1/4(n + 8) – 2 = 1/2(n – 6).

Pembahasan

Dengan menguji persamaan asli dengan x = 12, kita mendapatkan 3 = 3.

Lebih jelasnya klik tautan berikut

Latihan bisa dibuka di geschool

Sumber tulisan : https://yos3prens.wordpress.com/2013/11/15/menyelesaikan-persamaan-linear-satu-variabel-plsv/

 

Workshop on STEM and Integrating Scientific Calculator in Mathematics Education

STEM merupakan pendekatan model pembelajaran interdisiplin antara Science, Technology, Engineering and Mathematics. Berbagai model pembelajaran yang telah dipelajari dan dilaksanakan berbaur menjadi sebuah magnet yang namanya STEM. Cara ini diperlukan saat ini dan yang akan datang.

Pola STEM bisa diuraikan secara singkat. Sains : mengkaji tentang fenomena alam yang melibatkan observasi dan pengukuran. Teknologi : inovasi untuk memodifikasi alam agar memenuhi kebutuhan dan keinginan manusia. Enginering : Pengetahuan dan ketrampilan untuk mendesain dan mengkonstruksi mesin, material, dan proses yang bermanfaat bagi manusia. Matematika : Ilmu tentang pola-pola dan hubungan-hubungan, dan menyediakan Bahasa bagi teknologi, sains dan engineering.

» Read more

STEM Citaku

sumber gambar : https://www.google.com/search?q=STEM&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwj0_dKP4-fhAhUaf30KHYJODJ0Q_AUIDigB&biw=1366&bih=654#imgrc=zBNUr91UmLXcXM:

STEM merupakan pendekatan model pembelajaran interdisiplin antara Science, Technology, Engineering and Mathematics. Torlakson (2014) menyatakan bahwa pendekatan dari keempat aspek ini merupakan pasangan yang serasi antara masalah yang terjadi di dunia nyata dan juga pembelajaran berbasis masalah. Berbagai model pembelajaran yang telah dipelajari dan dilaksanakan berbaur menjadi sebuah magnet yang namanya STEM. Cara ini diperlukan saat ini dan yang akan datang.

Di masa depan ada tiga tantangan yang harus dihadapi : kehidupan di abad ke-21, menyiapkan generasi emas dan implementasi kurikulum nasional. Ada tiga kecakapan yang harus dikuasai bila masuk pada abad ke-21. Learning and Innovation Skill, Life and Carrer Skill dan Digital Literacy. Ketiga kecakapan ini harus dikuasai. Manakala kehidupan masih bergantung pada seseorang, maka peran kebaraannya tidak diperhitungkan bahkan tersingkir.

» Read more

Konsep Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Konsep Persamaan

Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV ) adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda sama dengan “=” dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel : ax + 8 = 0

Lihat video berikut ini

Contoh :

 

Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup

Kalimat terbuka adalah sebuah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, karena ada unsur yang belum diketahuinya. Unsur yang belum diketahui tersebut disebut variabel. Contohnya yaitu 2x +1 = 11. Kalimat tersebut belum dapat ditentukan kebenarannya karena kita belum tahu berapa nilai x nya. x inilah dinamakan variabel.

Kalimat tertutup adalah sebuah kalimat yang sudah dapat dinyatakan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah). Maksudnya kalimat tersebut mengandung maksud yang benar atau juga bisa kalimat yang mengandung maksud salah.

Konsep Pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV) merupakan suatu kalimat terbuka yang hanya memuat satu variabel  berpangkat  satu dan dihubungkan dengan lambang pertidaksamaan seperti: <, >, ≤, dan ≥

Lihat video berikut ini

contoh :

Latihan

untuk latihan : klik disini

Diagram Venn

John Venn. sumber gambar : Famous-mathematics.com

Diagram venn adalah suatu cara menyatakan himpunan dengan menggunakan gambar. Cara ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang berasal dari inggris. Matematikawan tersebut adalah John Venn. Seorang ahli matematika berkebangsaan Inggris yang hidup pada tahun 1834 – 1923.

 

Ketentuan dalam membuat diagram venn

Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan

dipojok kiri atas diberi symbol (s) yang artinya semesta

Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah (titik) di dalam persegi panjang itu dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya.

Misal S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Setiap himpunan yang termuat dalam himpunan semesta ditunjukkan dengan kurva tertutup sederhana. Misalnya :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan A = {2, 4, 6, 8}

Untuk himpunan yang mempunya anggota sangat banyak, pada diagram venn anggota-anggota tersebut tidak digambarkan dengan noktah karena tidak praktis cara mengerjakannya. Misalnya :

S = {Siswa di sekolahmu}  dan D= {Siswa di kelasmu}

Latihan

Untuk latihan dapat klik disini

Latihan : klik disini

Operasi Himpunan

Notasi Himpunan

Operasi Himpunan

Ada beberapa operasi yang terdapat dalam himpunan, yaitu :

Gabungan (Union)
Gabungan dalam himpunan sama halnya penjumlahan, yaitu menggabungkan anggota dari kedua himpunan tersebut. Namun, untuk anggota yang sama cukup dituliskan satu saja.
contoh :
A = {1,2,3,4}
B = {4,5,6,7}
A  B = {1,2,3,4,5,6,7}

Irisan (Intersection)
Irisan dalam himpunan adalah operasi mencari anggota yang sama dari kedua himpunan yang dioperasikan.
contoh :
A = {2,3,4,5}
B = {4,5,6,7}
A B = {4,5}

Himpunan bagian (subset)
Himpunan bagian adalah himpunan yang berada dalam himpunan.
contoh :
A = {1,2,3}
maka dari A adalah :
{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

Banyaknya anggota dalam himpunan bagian dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

P(A) = 2A.

Contoh :

Diketahui A = {1, 2, 3}. Tuliskan semua himpunan bagian dari A

Jawab :

{ }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, {1 , 2}, {1 , 3}, {2 , 3}, {1, 2, 3}

n (A0 = 3 Jadi banyaknya himpunan bagian dari A adalah P(A) ⇒ 2³ = 8

Lihat tayangan video berikut

 

Dalam operasi himpunan, akan didapatkan beberapa kejadian yang terjadi, yaitu :

Himpunan Saling Lepas
Himpunan dikatakan saling lepas jika antara himpunan yang satu dengan yang lainnya tidak memiliki irisan, atau memiliki irisan yang merupakan himpunan kosong ( )

Himpunan Saling tidak Lepas

Himpunan dikatakan tidak saling lepas jika antara himpunan yang satu dengan yang lainnya memiliki irisan.

Himpunan yang merupakan himpunan lainnya.

Himpunan ini terbentuk karena salah satu himpunan tersebut merupakan subset dari himpunan lainnya.

Himpunan sama.

Himpunan ini terbentuk karena kedua himpunan tersebut memiliki anggota himpunan yang sama.

 

Latihan

untuk latihan bisa klik disini

1 2