Wasilah

Wasilah dalam bahasa arab berarti jalan atau perantara. Kata padanannya wasithah yang artinya jalan tengah dan pendamai. Dengan mengartikan wasilah menjadi orang tengah (perantara), kemudian timbul pengertian bahwa untuk sampai kepada Allah harus dengan perantara. Sedang perantara itu adalah ruh-ruh orang yang dianggap suci. Misalnya nabi, wali, para syuhada’, dan orang-orang shaleh. Kepada ruh mereka yang telah meninggal itu orang-orang berwasilah tersebut memohon bantuan agar dapat menyampaikan do’a kepada Allah swt.

Penulis pernah mendengar kata wasilah sejak dari kecil. Tapi tidak tahu inti sari dari wasilah. Yang sering didengar, kata wasilah itu diakitkan dengan kata Nabi Muhammad saw. Tak heran kalau dulu, sering mendapat kata “dapat wasilah dari Nabi”. Ternyata kata wasilah itu adalah perantara. Biasanya wasilah ini dipakai kalau seseorang akan menunaikan sesuatu. Akan ujian, mantu, mendirikan rumah dll. Aktifitas itu dimaksudkan agar mendapat wasilah. Artinya agar yang diidamkan dapat tercapai dengan perantara. Apakah yang demikian itu ada tuntunan dari Rasulullah? Al-Fairuzabadiy dalam Tanwiirul-Miqbaas Min Tafsiir IbniAbbaas menyatakan bahwa wabtaghuu illaihil-wasilah diartikan dengan carilah ad-darajah ar-rafi’ah(derajat yang tinggi). ”Carilah kedekatan dengan-Nya (Allah) dalam derajat (yang_tinggi)_dengan_amal-amal_yang_shalih.” Jadi, wasilah (perantara) yang dapat menyampaikan pada taqarrauh (dekat) dengan Allah adalah amal-amal shaleh. Lalu, apakah amal shaleh itu? Tidak lain adalah ath-th’ah fiimaa binahum wabaina rabbihim Artinya_ketaatan_melaksanakan_apa-apa yang telah ditentukan antara mereka dengan Tuhannya. Apa saja, yang diperintahkan atau tidak dilarang oleh Allah dilaksanakan dengan  ikhlas, itulah amal shaleh.

Dalam Q.S. Al-isra’ (17) ayat 56-57, Allah menegaskan bahwa kandungan ayat itu memiliki makna bahwa pengertian wasilah adalah jalan pendekatan diri kepada Allah, dengan mengingkari panggilan kepada selain Allah. Sebab selain Allah itu tidak memiliki kemampuan menyingkap marabahaya maupun mengalihkannya dari para pemanggil (yang minta bantuan kepadanya).

Konsep Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Konsep Persamaan

Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV ) adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda sama dengan “=” dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel : ax + 8 = 0

Lihat video berikut ini

Contoh :

 

Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup

Kalimat terbuka adalah sebuah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, karena ada unsur yang belum diketahuinya. Unsur yang belum diketahui tersebut disebut variabel. Contohnya yaitu 2x +1 = 11. Kalimat tersebut belum dapat ditentukan kebenarannya karena kita belum tahu berapa nilai x nya. x inilah dinamakan variabel.

Kalimat tertutup adalah sebuah kalimat yang sudah dapat dinyatakan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah). Maksudnya kalimat tersebut mengandung maksud yang benar atau juga bisa kalimat yang mengandung maksud salah.

Konsep Pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV) merupakan suatu kalimat terbuka yang hanya memuat satu variabel  berpangkat  satu dan dihubungkan dengan lambang pertidaksamaan seperti: <, >, ≤, dan ≥

Lihat video berikut ini

contoh :

Latihan

untuk latihan : klik disini

Diagram Venn

John Venn. sumber gambar : Famous-mathematics.com

Diagram venn adalah suatu cara menyatakan himpunan dengan menggunakan gambar. Cara ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang berasal dari inggris. Matematikawan tersebut adalah John Venn. Seorang ahli matematika berkebangsaan Inggris yang hidup pada tahun 1834 – 1923.

 

Ketentuan dalam membuat diagram venn

Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan

dipojok kiri atas diberi symbol (s) yang artinya semesta

Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah (titik) di dalam persegi panjang itu dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya.

Misal S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Setiap himpunan yang termuat dalam himpunan semesta ditunjukkan dengan kurva tertutup sederhana. Misalnya :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan A = {2, 4, 6, 8}

Untuk himpunan yang mempunya anggota sangat banyak, pada diagram venn anggota-anggota tersebut tidak digambarkan dengan noktah karena tidak praktis cara mengerjakannya. Misalnya :

S = {Siswa di sekolahmu}  dan D= {Siswa di kelasmu}

Latihan

Untuk latihan dapat klik disini

Latihan : klik disini

Operasi Himpunan

Notasi Himpunan

Operasi Himpunan

Ada beberapa operasi yang terdapat dalam himpunan, yaitu :

Gabungan (Union)
Gabungan dalam himpunan sama halnya penjumlahan, yaitu menggabungkan anggota dari kedua himpunan tersebut. Namun, untuk anggota yang sama cukup dituliskan satu saja.
contoh :
A = {1,2,3,4}
B = {4,5,6,7}
A  B = {1,2,3,4,5,6,7}

Irisan (Intersection)
Irisan dalam himpunan adalah operasi mencari anggota yang sama dari kedua himpunan yang dioperasikan.
contoh :
A = {2,3,4,5}
B = {4,5,6,7}
A B = {4,5}

Himpunan bagian (subset)
Himpunan bagian adalah himpunan yang berada dalam himpunan.
contoh :
A = {1,2,3}
maka dari A adalah :
{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

Banyaknya anggota dalam himpunan bagian dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

P(A) = 2A.

Contoh :

Diketahui A = {1, 2, 3}. Tuliskan semua himpunan bagian dari A

Jawab :

{ }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, {1 , 2}, {1 , 3}, {2 , 3}, {1, 2, 3}

n (A0 = 3 Jadi banyaknya himpunan bagian dari A adalah P(A) ⇒ 2³ = 8

Lihat tayangan video berikut

 

Dalam operasi himpunan, akan didapatkan beberapa kejadian yang terjadi, yaitu :

Himpunan Saling Lepas
Himpunan dikatakan saling lepas jika antara himpunan yang satu dengan yang lainnya tidak memiliki irisan, atau memiliki irisan yang merupakan himpunan kosong ( )

Himpunan Saling tidak Lepas

Himpunan dikatakan tidak saling lepas jika antara himpunan yang satu dengan yang lainnya memiliki irisan.

Himpunan yang merupakan himpunan lainnya.

Himpunan ini terbentuk karena salah satu himpunan tersebut merupakan subset dari himpunan lainnya.

Himpunan sama.

Himpunan ini terbentuk karena kedua himpunan tersebut memiliki anggota himpunan yang sama.

 

Latihan

untuk latihan bisa klik disini

Konsep Himpunan

Definisi

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar atau menggunakan istilah-istilah kelompok, kumpulan, kelas atau gugus untuk mengungkapkan suatu kumpulan atau obyek tertentu. misalnya :

  1. kelompok pecinta alam
  2. kumpulan hewan bertulang belakang (vertebrata)
  3. penonton pertandingan sepak bola. dan lain-lain

Himpunan dalam matematika diartikan sebagai kumpulan dari objek yang terdefinisikan dengan jelas. Himpunan memiliki anggota yang tunggal dimana tidak ada anggota yang sama dalam satu himpunan. Kumpulan dari semua anggota yang terdapat dalam sebuah himpunan dinamakan dengan himpunan semesta (S).

lihat tayangan video berikut ini

Anggota Himpunan

Setiap benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut : anggota, elemen, atau unsur.

Mengenal Beberapa Himpunan Bilangan

B adalah notasi untuk himpunan bilangan Bulat.
B={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

R adalah notasi untuk himpunan bilangan Riil.
A adalah notasi untuk himpunan bilangan Asli.
A ={1,2,3,4,5,6,7,…}

C adalah notasi untuk himpunan bilangan cacah

C = {0, 1, 2, 3, 4, …}

 

Cara Menyatakan Himpunan
  • Mendaftar semua anggota himpunan.

A = { a, b, c, ….z }

N = { 1, 2, 3, 4,….}

  • Notasi pembentuk himpunan, dengan mendeskripsikan sifat-sifat

yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.

O = { x|x adalah bilangan ganjil }

E = { p|p orang yang pernah menjadi presiden RI }

  • Dengan kalimat atau kata-kata

G = Himpunan bilangan ganjil lebih kecil dari sepuluh

P = Himpunan bilangan prima genap

Latihan

soal latihan dapat di klik disini

 

 

Faktorisasi Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar xy merupakan perkalian dari x dengan y (xy = x × y). Maka yang menjadi faktor dari xy adalah x dan y. Begitu juga dengan bentuk a(x + y), dimana faktor dari a(x + y) adalah a dan (x + y).
Jadi, yang dimaksud dengan pemfaktoran bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku ke dalam bentuk perkalian atau faktor.

Sifat-sifat

Hukum Distributif dan Faktor Persekutuan Aljabar

Masih ingat dengan hukum distributif untuk bilangan a, b, c anggota bilangan real? pada hukum distributif berlaku aturan :

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar.

Perhatikan contoh berikut.

Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini!
a. 2x2 + 8x2y

2x2 + 8x2y = 2x2 (1 + 4y) ==> (FPB 2x2 dan 8x2y = 2x2)
b. 12abc + 15xyz

12abc + 15xyz =

3(4abc + 5xyz) ==> (FPB 12abc dan 15xyz = 3)
c. 3x2y – 15xy2z

3x2y – 15xy2z =

3xy(x – 5yz) ==> (FPB 3x2y dan 15xy2z = 3xy)

Faktorisasi Bentuk x2 + 2xy + y2

Hasil perkalian dari (x + y)2 adalah x2 + 2xy + y2. Bentuk seperti ini disebut sebagai bentuk kuadrat sempurna.
Bentuk kuadrat sempurna mempunyai beberapa ciri khusus, yaitu:
a. Koefisien peubah pangkat dua (x2) sama dengan 1.
b. Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x.

Perhatikan contoh berikut ini!

Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x2 + 8x + 16!

Penyelesaian:

Konstanta = (½ × 8)2 = 42, maka
x2 + 8x + 16 = x2 + 8x + (4)2
= (x + 4)2
= (x + 4)(x + 4)

Selain dengan cara di atas, memfaktorkan bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan hukum distributif. Caranya adalah mengubah suku 2xy menjadi penjumlahan dua suku (xy + xy), kemudian suku-suku tersebut difaktorkan.

Perhatikan contoh berikut ini!

Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x2 + 8x + 16

Penyelesaian:
x2 + 8x + 16 = x2 + 4x + 4x + 16

= (x2 + 4x) + (4x + 16)
= x (x + 4) + 4(x + 4)
= (x + 4) (x + 4)
= (x + 4)2

Jadi faktor dari x2 + 4x + 16 adalah (x + 4)2

 

3. Faktorisasi Bentuk Kuadrat ax2 + bx + c

Selain faktorisasi bentuk x2 + 2xy + y2, faktorisasi bentuk kuadrat terdapat pula dalam bentuk ax2 + bx + c; dengan a, b, dan c merupakan bilangan real. a dan b merupakan koefisien, c adalah konstanta. Sedangkan yang menjadi peubah atau variabel adalah x2 dan x.

a. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar seperti ini, kalian harus memperhatikan bentuk perkalian suku (x + y) dengan (x + z) berikut.
(x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) (sifat distributif)
= ((x.x)+(x.z))+((y.x)+(y.z)) (sifat distributif)
= x2 + xz + xy + yz
= x2 + (y + z)x + yz

Perhatikan contoh berikut ini

Faktorkanlah bentuk aljabar dari x2 + 7x + 12!

Penyelesaian:
x2 + 7x + 12 = x2 + (y + z)x + yz
y + z = 7
yz = 12
y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4 atau y = 4 dan z = 3.

Jadi bentuk kuadrat dari x2 + 7x + 12 adalah:
(x+y)(x+z) = (x + 3)(x + 4)
atau
(x+y)(x+z) = (x + 4)(x + 3).

 

b. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1

Kalian telah memahami bahwa pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1 adalah (x + y)(x + z). Dengan menurunkan rumus tersebut kita dapat memperoleh rumus pemfaktoran ax2 + bx + c untuk a ≠ 1. Perhatikan pemfaktoran berikut

Selanjutnya kita cari bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya sama dengan b/a dan jika dikalikan hasilnya sama dengan b/c.

Contoh :

Faktorkanlah bentuk aljabar 2x2 + 3x – 14!

Penyelesaian:

2x2 + 3x – 14 = a(x+ p/a )( x+ q/a)
Berdasarkan soal, diperoleh nilai a = 2, b = 3, dan c = –14, sehingga:
pq = ac = –28
p + q = b = 3
Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = –4 dan q = 7, atau p = 7 dan q = –4.

Jadi,
Untuk p = –4 dan q = 7
2x2 + 3x – 14 = 2(x + –4/2 )( x + 7/2 )
= (x – 2)(2x + 7)

Untuk p = 7 dan q = -4
2x2 + 3x – 14 = 2( x + 7/2 )(x + -4/2 )
= (2x + 7)(x – 2)

Jadi faktor dari 2x2 + 3x – 14 adalah (2x + 7)(x – 2)

Latihan

untuk latihan klik disini

untuk tugas klik disini

Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar

A. Operasi Perkalian

Pada operasi perkalian bilangan bulat terdapat sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan, yaitu a(b + c)= ab + ac , dan a(b – c) = ab – ac. Pada operasi perkalian bentuk aljabar sifat tersebut juga berlaku.

– Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar.
Untuk melakukan operasi perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar, dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan mengalikan konstanta tersebut dengan konstanta pada bentuk aljabar.

2 x 4a = 8a

-3 x 8c = -24c

3 x (5a + 7b) = 15a + 21b

-8 x (4p – 2q) = -32p + 16q

*Perkalian antara dua bentuk aljabar.
Perkalian dua bentuk aljabar berlaku juga sifat distributif. Untuk suku yang sejenis, jika variabel dikalikan maka akan menjadi pangkat, misal a x a = a^2, sedangkan konstanta dikalikan seperti biasa. Untuk suku yang tidak sejenis maka variabelnya akan dituliskan saja, dan konstanta dikalikan seperti biasa.
Perkalian satu suku dengan dua suku. Contoh :

 

B. Operasi Pembagian

Operasi pembagian pada bentuk aljabar dilakukan dengan cara membagi konstantanya seperti biasa, namun untuk variabelnya, dilihat dulu koefisien dari kedua variabel nya, kemudian bagi masing-masing variabelnya dengan koefisiennya. Contoh :

 

Latihan

untuk latihan klik disini

untuk tugas klik disini

1 2 3 4 39