Operasi Himpunan

Notasi Himpunan

Operasi Himpunan

Ada beberapa operasi yang terdapat dalam himpunan, yaitu :

Gabungan (Union)
Gabungan dalam himpunan sama halnya penjumlahan, yaitu menggabungkan anggota dari kedua himpunan tersebut. Namun, untuk anggota yang sama cukup dituliskan satu saja.
contoh :
A = {1,2,3,4}
B = {4,5,6,7}
A  B = {1,2,3,4,5,6,7}

Irisan (Intersection)
Irisan dalam himpunan adalah operasi mencari anggota yang sama dari kedua himpunan yang dioperasikan.
contoh :
A = {2,3,4,5}
B = {4,5,6,7}
A B = {4,5}

Himpunan bagian (subset)
Himpunan bagian adalah himpunan yang berada dalam himpunan.
contoh :
A = {1,2,3}
maka dari A adalah :
{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}

Banyaknya anggota dalam himpunan bagian dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

P(A) = 2A.

Contoh :

Diketahui A = {1, 2, 3}. Tuliskan semua himpunan bagian dari A

Jawab :

{ }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, {1 , 2}, {1 , 3}, {2 , 3}, {1, 2, 3}

n (A0 = 3 Jadi banyaknya himpunan bagian dari A adalah P(A) ⇒ 2³ = 8

Lihat tayangan video berikut

 

Dalam operasi himpunan, akan didapatkan beberapa kejadian yang terjadi, yaitu :

Himpunan Saling Lepas
Himpunan dikatakan saling lepas jika antara himpunan yang satu dengan yang lainnya tidak memiliki irisan, atau memiliki irisan yang merupakan himpunan kosong ( )

Himpunan Saling tidak Lepas

Himpunan dikatakan tidak saling lepas jika antara himpunan yang satu dengan yang lainnya memiliki irisan.

Himpunan yang merupakan himpunan lainnya.

Himpunan ini terbentuk karena salah satu himpunan tersebut merupakan subset dari himpunan lainnya.

Himpunan sama.

Himpunan ini terbentuk karena kedua himpunan tersebut memiliki anggota himpunan yang sama.

 

Latihan

untuk latihan bisa klik disini

Konsep Himpunan

Definisi

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar atau menggunakan istilah-istilah kelompok, kumpulan, kelas atau gugus untuk mengungkapkan suatu kumpulan atau obyek tertentu. misalnya :

  1. kelompok pecinta alam
  2. kumpulan hewan bertulang belakang (vertebrata)
  3. penonton pertandingan sepak bola. dan lain-lain

Himpunan dalam matematika diartikan sebagai kumpulan dari objek yang terdefinisikan dengan jelas. Himpunan memiliki anggota yang tunggal dimana tidak ada anggota yang sama dalam satu himpunan. Kumpulan dari semua anggota yang terdapat dalam sebuah himpunan dinamakan dengan himpunan semesta (S).

lihat tayangan video berikut ini

Anggota Himpunan

Setiap benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut : anggota, elemen, atau unsur.

Mengenal Beberapa Himpunan Bilangan

B adalah notasi untuk himpunan bilangan Bulat.
B={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

R adalah notasi untuk himpunan bilangan Riil.
A adalah notasi untuk himpunan bilangan Asli.
A ={1,2,3,4,5,6,7,…}

C adalah notasi untuk himpunan bilangan cacah

C = {0, 1, 2, 3, 4, …}

 

Cara Menyatakan Himpunan
  • Mendaftar semua anggota himpunan.

A = { a, b, c, ….z }

N = { 1, 2, 3, 4,….}

  • Notasi pembentuk himpunan, dengan mendeskripsikan sifat-sifat

yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.

O = { x|x adalah bilangan ganjil }

E = { p|p orang yang pernah menjadi presiden RI }

  • Dengan kalimat atau kata-kata

G = Himpunan bilangan ganjil lebih kecil dari sepuluh

P = Himpunan bilangan prima genap

Latihan

soal latihan dapat di klik disini

 

 

Faktorisasi Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar xy merupakan perkalian dari x dengan y (xy = x × y). Maka yang menjadi faktor dari xy adalah x dan y. Begitu juga dengan bentuk a(x + y), dimana faktor dari a(x + y) adalah a dan (x + y).
Jadi, yang dimaksud dengan pemfaktoran bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku ke dalam bentuk perkalian atau faktor.

Sifat-sifat

Hukum Distributif dan Faktor Persekutuan Aljabar

Masih ingat dengan hukum distributif untuk bilangan a, b, c anggota bilangan real? pada hukum distributif berlaku aturan :

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar.

Perhatikan contoh berikut.

Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini!
a. 2x2 + 8x2y

2x2 + 8x2y = 2x2 (1 + 4y) ==> (FPB 2x2 dan 8x2y = 2x2)
b. 12abc + 15xyz

12abc + 15xyz =

3(4abc + 5xyz) ==> (FPB 12abc dan 15xyz = 3)
c. 3x2y – 15xy2z

3x2y – 15xy2z =

3xy(x – 5yz) ==> (FPB 3x2y dan 15xy2z = 3xy)

Faktorisasi Bentuk x2 + 2xy + y2

Hasil perkalian dari (x + y)2 adalah x2 + 2xy + y2. Bentuk seperti ini disebut sebagai bentuk kuadrat sempurna.
Bentuk kuadrat sempurna mempunyai beberapa ciri khusus, yaitu:
a. Koefisien peubah pangkat dua (x2) sama dengan 1.
b. Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x.

Perhatikan contoh berikut ini!

Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x2 + 8x + 16!

Penyelesaian:

Konstanta = (½ × 8)2 = 42, maka
x2 + 8x + 16 = x2 + 8x + (4)2
= (x + 4)2
= (x + 4)(x + 4)

Selain dengan cara di atas, memfaktorkan bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan hukum distributif. Caranya adalah mengubah suku 2xy menjadi penjumlahan dua suku (xy + xy), kemudian suku-suku tersebut difaktorkan.

Perhatikan contoh berikut ini!

Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x2 + 8x + 16

Penyelesaian:
x2 + 8x + 16 = x2 + 4x + 4x + 16

= (x2 + 4x) + (4x + 16)
= x (x + 4) + 4(x + 4)
= (x + 4) (x + 4)
= (x + 4)2

Jadi faktor dari x2 + 4x + 16 adalah (x + 4)2

 

3. Faktorisasi Bentuk Kuadrat ax2 + bx + c

Selain faktorisasi bentuk x2 + 2xy + y2, faktorisasi bentuk kuadrat terdapat pula dalam bentuk ax2 + bx + c; dengan a, b, dan c merupakan bilangan real. a dan b merupakan koefisien, c adalah konstanta. Sedangkan yang menjadi peubah atau variabel adalah x2 dan x.

a. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar seperti ini, kalian harus memperhatikan bentuk perkalian suku (x + y) dengan (x + z) berikut.
(x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) (sifat distributif)
= ((x.x)+(x.z))+((y.x)+(y.z)) (sifat distributif)
= x2 + xz + xy + yz
= x2 + (y + z)x + yz

Perhatikan contoh berikut ini

Faktorkanlah bentuk aljabar dari x2 + 7x + 12!

Penyelesaian:
x2 + 7x + 12 = x2 + (y + z)x + yz
y + z = 7
yz = 12
y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4 atau y = 4 dan z = 3.

Jadi bentuk kuadrat dari x2 + 7x + 12 adalah:
(x+y)(x+z) = (x + 3)(x + 4)
atau
(x+y)(x+z) = (x + 4)(x + 3).

 

b. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1

Kalian telah memahami bahwa pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1 adalah (x + y)(x + z). Dengan menurunkan rumus tersebut kita dapat memperoleh rumus pemfaktoran ax2 + bx + c untuk a ≠ 1. Perhatikan pemfaktoran berikut

Selanjutnya kita cari bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya sama dengan b/a dan jika dikalikan hasilnya sama dengan b/c.

Contoh :

Faktorkanlah bentuk aljabar 2x2 + 3x – 14!

Penyelesaian:

2x2 + 3x – 14 = a(x+ p/a )( x+ q/a)
Berdasarkan soal, diperoleh nilai a = 2, b = 3, dan c = –14, sehingga:
pq = ac = –28
p + q = b = 3
Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = –4 dan q = 7, atau p = 7 dan q = –4.

Jadi,
Untuk p = –4 dan q = 7
2x2 + 3x – 14 = 2(x + –4/2 )( x + 7/2 )
= (x – 2)(2x + 7)

Untuk p = 7 dan q = -4
2x2 + 3x – 14 = 2( x + 7/2 )(x + -4/2 )
= (2x + 7)(x – 2)

Jadi faktor dari 2x2 + 3x – 14 adalah (2x + 7)(x – 2)

Latihan

untuk latihan klik disini

untuk tugas klik disini

Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar

A. Operasi Perkalian

Pada operasi perkalian bilangan bulat terdapat sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan, yaitu a(b + c)= ab + ac , dan a(b – c) = ab – ac. Pada operasi perkalian bentuk aljabar sifat tersebut juga berlaku.

– Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar.
Untuk melakukan operasi perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar, dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan mengalikan konstanta tersebut dengan konstanta pada bentuk aljabar.

2 x 4a = 8a

-3 x 8c = -24c

3 x (5a + 7b) = 15a + 21b

-8 x (4p – 2q) = -32p + 16q

*Perkalian antara dua bentuk aljabar.
Perkalian dua bentuk aljabar berlaku juga sifat distributif. Untuk suku yang sejenis, jika variabel dikalikan maka akan menjadi pangkat, misal a x a = a^2, sedangkan konstanta dikalikan seperti biasa. Untuk suku yang tidak sejenis maka variabelnya akan dituliskan saja, dan konstanta dikalikan seperti biasa.
Perkalian satu suku dengan dua suku. Contoh :

 

B. Operasi Pembagian

Operasi pembagian pada bentuk aljabar dilakukan dengan cara membagi konstantanya seperti biasa, namun untuk variabelnya, dilihat dulu koefisien dari kedua variabel nya, kemudian bagi masing-masing variabelnya dengan koefisiennya. Contoh :

 

Latihan

untuk latihan klik disini

untuk tugas klik disini

KPK dan FPB

Pengertian KPK dan FPB

KPK adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil. FPB adalah Faktor Persekutuan Terbesar. Untuk mengetahui lebih jauh tentang KPK dan FPB, pahami beberapa pengertian di bawah ini terlebih dahulu.

Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima

Bilangan prima: bilangan bulat positif dengan dua faktor, yaitu hanya dapat dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh: 2, 3, 5, 7, 11.
Faktor prima: faktor-faktor yang merupakan bilangan prima. Contoh: 2 dan 3 adalah faktor prima dari 36.
Faktorisasi prima: proses menyatakan suatu bilangan bulat sebagai hasil perkalian dari faktor-faktor prima. Contoh: 36  = 2 x 2 x 3 x 3 atau 2²x3²

Ada cara mudah untuk menentukan faktorisasi prima, yaitu menggunakan pohon faktor (membagi bilangan tersebut hingga menyisakan faktor-faktor prima saja). Perhatikan gambar di bawah ini :

 

Cara Mencari KPK dengan Metode Sederhana

Tentukan KPK dari 12 dan 20, maka cara mencarinya dengan metode sederana adalah:

  • Kelipatan dari 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …
  • Kelipatan dari 20 = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, …
  • KPK dari 12 dan 20 adalah kelipatan sekutu (sama) yang terkecil, yaitu 60.

Tentukan KPK dari 8, 12 dan 30

Faktor Prima= 2 x 2 x 2 = 23       2 x 2 x 3 = 22 x 3          2 x 3 x 5
dari ketiga faktor 8, 12 dan 30 kita hanya menemukan 3 bilangan yaitu 2, 3 dan 5
faktor 2 yang terbesar àdalah 23
faktor 3 nilainyà sama untuk 12 dan 30 makà ambil salah satunyà yaitu 3
faktor 5 ada 1 àmbil nilai 5
sehingga didapat KPK dari 8, 12 dan 30 adalah 23 x 3 x 5 = 120

 

Cara Mencari FPB dengan Metode Sederhana

Tentukan FPB dari 12 dan 20:

  • Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12
  • Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20
  • FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.

Tentukan FPB dari 4, 8 dan 12

Faktor Prima= 2 x 2 = 22     2 x 2 x 2 = 23          2 x 2 x 3 =22 x 3
faktor dari bilangan 4, 8 dan 12 yang sama adalah 2, dan  yang terkecil adalah 22 = 4
Jadi FPB dari 4, 8 dan 12 adalah 4

Lihat tayangan video berikut

 

Latihan

Untuk latihan klik disini

Untuk tugas klik disini

 

Bilangan Berpangkat

1. Pengertian Bilangan Bulat Berpangkat

Bilangan berpangkat merupakan bentuk kelanjutan dari operasi hitung yang terdiri dari penjumlahan (+), pengurangan ( – ), pembagian ( : ), dan perkalian (x). Bilangan berpangkat adalah bilangan penyederhana dari sebuah bilangan yang dikalikan dengan bilangan itu sendiri. Seperti contoh di bawah ini:

an = a x a x a x ……. X n (sebanyak n) keterangan: an = bilangan berpangkat

a = bilangan pokok

n = pangkat (jumlah perkaliannya)

Contoh lain :

43 = 4 x 4 x 4

 

2. Jenis Bilangan Berpangkat

Di dalam bilangan berpangkat sendiri terdapat berbagai jenis di antaranya :

2.1. Bilangan berpangkat bulat positif

Bilangan berpangkat bulat positif seperti an atau 23 hasilnya adalah 2 x 2 x 2 = 8. Pengoperasiannya yaitu dengan cara perkalian.

Lihat tayangan video berikut

 

2.2. Bilangan berpangkat bulat negatif

Bilangan berpangkat bulat negatif seperti a-n atau 2-3. Pengoperasiannya yaitu dengan cara pembagian.

berikutLihat tayangan video

 

2.3. Bilangan berpangkat nol

Bilangan pokok apapun, jika dipangkatkan dengan bilangan 0, maka hasilnya selalu 1. Jadi, a0 = 1.

 

3. Sifat dan Contoh Bilangan Berpangkat

Sifat-sifat dalam bilangan berpangkat di antaranya sebagai berikut:

3.1. Perkalian

Sifat bilangan berpangkat perkalian yaitu seperti am x an = am+n Contoh sifat perkalian bilangan berpangkat:

23 x 22 =

23+2 =

25 =

32

3.2. Pembagian

Sifat bilangan berpangkat pembagian yaitu seperti am : an = am-n Contoh sifat perkalian bilangan berpangkat:

23 x 22 =

23-2 =

21 =

2

3.3. Pemangkatan

Sifat bilangan berpangkat pemangkatan yaitu seperti (am)n = am x n Contoh sifat perkalian bilangan berpangkat:

(23)2 =

23 x 2 =

26 =

64

3.4. Perpangkatan Perkalian dan Pembagian

Sifat bilangan berpangkat perpangkatan perkalian dan pembagian yaitu seperti:

(a x b)n =

an x bn

 

(2 x 3)2 =

22 x 32 =

4 x 9 =

36

 

(a : b)n =

an : bn =

(2 : 3)2 =

22 : 32 =

4 : 9 =

4/9

Lihat tayangan video berikut

 

Latihan

Latihan soal dapat klik disini

Tugas dapat klik disini

Bilangan Pecahan

Pengertian Bilangan Bulat

Bilangan pecahan dapat diartikan sebagai sebuah bilangan yang memiliki pembilang dan juga penyebut. Pada bentuk bilangan ini, pembilang dibaca terlebih dahulu baru disusul dengan penyebut. Ketika menyebutkan suatu bilangan pecahan, diantara pembilang dan penyebut harus disisipkan kata “per”. Misalkan untuk bilangan 4/7 maka kita dapat menyebutnya dengan “empat per tujuh” begitu juga dengan bilangan 1/3 kalian bisa membacanya “satu per tiga” atau “septiga”.

Pecahan senilai adalah pecahan yang memiliki nilai sama dengan pecahan lain. Cara mencari dilakukan dengan mengalikan dan/atau membagi dengan bilangan yang sama.

contoh :

 

Gambar berikut memperlihatkan pecahan yang senilai

 

Membandingkan Bilangan Pecahan

Perhatikan contoh berikut :

 

Macam-macam Pecahan

Lihat tayangan video berikut

 

Operasi Pada Bilangan Pecahan

A. Penjumlahan dan Pengurangan

Untuk menjumlahkan atau pengurangan dua buah bilangan pecahan, maka syarat utama dari kedua bilangan tersebut adalah harus memiliki penyebut yang sama. Contohnya:

3/5 + 1/5 = 4/5

5/6 – 4/6 = 1/6

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan pecahan yang memiliki bilangan penyebut berbeda, maka harus menyamakan kedua penyebut tersebut dengan cara mencari kpk dari kedua bilangan yang menjadi penyebut. Contohnya:

1/2 + 1/4=

2/4 + 1/4 =

3/4

 

5/3 – 3/4 =

20/12 –  9/12 =

11/12

Lihat tayangan video berikut

B. Perkalian dan Pembagian

Untuk perkalian dua buah bilangan pecahan, langsung kalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut Contohnya:

5/3 x 3/4 = 15/12

2/5 x 1/3 = 2/15

Untuk pembagian dua buah bilangan pecahan, ubahlah dengan perkalian, namun pecahan yang satu dibalik Contohnya:

5/3 : 3/4 =

5/3 x 4/3 =

20/9

Lihat tayangan video berikut

 

Latihan

Untuk latihan klik disini

Untuk tugas klik disini

1 2 3 4 5 6 41